这是记录麻省理工学院公开课：线性代数的笔记，网址是麻省理工公开课：线性代数
第一节课说的是有关方程组的几何解释。网址是方程组的几何解释
首先是介绍方程组的几何解释，提出可以用矩阵表示，然后矩阵表示有两种表达方式，分别是行图像和列图像。行图像比较常见，比如两条直线相交，而列图像则比较少见。
两个未知数两个方程
然后老师举例说明，首先是两个方程组两个未知数的例子，例子如下所示：
用行图像表示如下所示：
这里用A=$ \left[\begin{matrix} 2 & -1 \\\ -1 & 3 \end{matrix} \right]$,x = $\left[\begin{matrix} x\\\ y \end{matrix}\right]$,b=$\left[\begin{matrix} 0 \\\ 3 \end{matrix}\right] $,可以得到Ax =b
这里表示的就是两条直线，并且它们相交于点(1,2)。
如果是用列向量，则如下所示：
对于这种写法，老师称之为列向量的线性组合，然后在二维坐标平面上表示了这两个向量，而这个列向量的线性组合的解，其实在用行图像表示的时候已经得到了，就是x=1, y=2。
三个未知数三个方程组
接着老师给出了三个未知数的情况，举例如下所示
使用行图像表示，A = $ \left[\begin{matrix}2 & -1 & 0 \\\ -1 & 2 & -1 \\\ 0 & -3 & 4\end{matrix}\right]$,b=$\left[\begin{matrix}0 \\\ -1 \\\4\end{matrix}\right]$,
使用列图像表示是如下所示：
如果通过行图像来求解，需要通过在三维坐标轴上画出3个平面求平面的交点，这是非常困难的。(这里老师也说了下一节课会介绍消元法来求解)。
而如果看列图像，则可以轻松得到答案：x=0,y=0,z=1，当然这是老师特意设计的题目，所以才这么容易得到这个答案。
然后老师就问了一个问题：
对任意的b，都能令
Ax = b有解吗？
这个问题对于这个三个未知数的例子来说，等价于这个例子中的列向量的线性组合是否能覆盖整个三维空间？
这里的答案当然是不能确定的，如果三个列向量都是在同一个平面上，那么得到的解也就只是在同一个平面的。
矩阵向量相乘的解法
最后老师介绍了矩阵与向量相乘的两种解法，首先是一个例子
两种解法分别是按照行向量还是列向量来解答的。
第一种，如果是按照列向量解答，则可以写成如下所示：
第二种，就是按行来求解，如下所示：
也就是第一个矩阵的第一行乘以第二个向量的对应列，然后第二行乘以第二个向量的对应列。
这种解法也是当初刚开始学习线性代数所学习的方法。
总结
这节课的收获主要是了解到列向量这种求法，之前对于矩阵的求解，还是通过按行来相乘求解的。不过在这节课中的例子都是矩阵乘以向量得到一个向量，如果是矩阵之间的相乘，不知道是否还是可以如此解决。
最后是手写笔记如下所示
