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这是 GAN 学习系列的第二篇文章，这篇文章将开始介绍 GAN 的起源之作，鼻祖，也就是 Ian Goodfellow 在 2014 年发表在 ICLR 的论文—Generative Adversarial Networks”，当然由于数学功底有限，所以会简单介绍用到的数学公式和背后的基本原理，并介绍相应的优缺点。
基本原理
在[GAN学习系列] 初识GAN中，介绍了 GAN 背后的基本思想就是两个网络彼此博弈。生成器 G 的目标是可以学习到输入数据的分布从而生成非常真实的图片，而判别器 D 的目标是可以正确辨别出真实图片和 G 生成的图片之间的差异。正如下图所示：
上图给出了生成对抗网络的一个整体结构，生成器 G 和判别器 D 都是有各自的网络结构和不同的输入，其中 G 的输出，即生成的样本也是 D 的输入之一，而 D 则会为 G 提供梯度进行权重的更新。
那么问题来了，如果 D 是一个非常好的分类器，那么我们是否真的可以生成非常逼真的样本来欺骗它呢？
对抗样本
在正式介绍 GAN 的原理之前，先介绍一个概念—对抗样本(adversarial example)，它是指经过精心计算得到的用于误导分类器的样本。例如下图就是一个例子，左边是一个熊猫，但是添加了少量随机噪声变成右图后，分类器给出的预测类别却是长臂猿，但视觉上左右两幅图片并没有太大改变。
所以为什么在简单添加了噪声后会误导分类器呢？
这是因为图像分类器本质上是高维空间的一个复杂的决策边界。当然涉及到图像分类的时候，由于是高维空间而不是简单的两维或者三维空间，我们无法画出这个边界出来。但是我们可以肯定的是，训练完成后，分类器是无法泛化到所有数据上，除非我们的训练集包含了分类类别的所有数据，但实际上我们做不到。而做不到泛化到所有数据的分类器，其实就会过拟合训练集的数据，这也就是我们可以利用的一点。
我们可以给图片添加一个非常接近于 0 的随机噪声，这可以通过控制噪声的 L2 范数来实现。L2 范数可以看做是一个向量的长度，这里有个诀窍就是图片的像素越多，即图片尺寸越大，其平均 L2 范数也就越大。因此，当添加的噪声的范数足够低，那么视觉上你不会觉得这张图片有什么不同，正如上述右边的图片一样，看起来依然和左边原始图片一模一样；但是，在向量空间上，添加噪声后的图片和原始图片已经有很大的距离了！
为什么会这样呢？
因为在 L2 范数看来，对于熊猫和长臂猿的决策边界并没有那么远，添加了非常微弱的随机噪声的图片可能就远离了熊猫的决策边界内，到达长臂猿的预测范围内，因此欺骗了分类器。
除了这种简单的添加随机噪声，还可以通过图像变形的方式，使得新图像和原始图像视觉上一样的情况下，让分类器得到有很高置信度的错误分类结果。这种过程也被称为对抗攻击(adversarial attack)，这种生成方式的简单性也是给 GAN 提供了解释。
生成器和判别器
现在如果将上述说的分类器设定为二值分类器，即判断真和假，那么根据 Ian Goodfellow 的原始论文的说法，它就是判别器（Discriminator）。
有了判别器，那还需要有生成假样本来欺骗判别器的网络，也就是生成器 （Generator）。这两个网络结合起来就是生成对抗网络（GAN），根据原始论文，它的目标如下：
两个网络的工作原理可以如下图所示，D 的目标就是判别真实图片和 G 生成的图片的真假，而 G 是输入一个随机噪声来生成图片，并努力欺骗 D 。
简单来说，GAN 的基本思想就是一个最小最大定理，当两个玩家（D 和 G）彼此竞争时（零和博弈），双方都假设对方采取最优的步骤而自己也以最优的策略应对（最小最大策略），那么结果就已经预先确定了，玩家无法改变它（纳什均衡）。
因此，它们的损失函数，D 的是
G 的是
这里根据它们的损失函数分析下，G 网络的训练目标就是让 D(G(z)) 趋近于 1，这也是让其 loss 变小的做法；而 D 网络的训练目标是区分真假数据，自然是让 D(x) 趋近于 1，而 D(G(z)) 趋近于 0 。这就是两个网络相互对抗，彼此博弈的过程了。
那么，它们相互对抗的效果是怎样的呢？在论文中 Ian Goodfellow 用下图来描述这个过程：
上图中，黑色曲线表示输入数据 x 的实际分布，绿色曲线表示的是 G 网络生成数据的分布，我们的目标自然是希望着两条曲线可以相互重合，也就是两个数据分布一致了。而蓝色的曲线表示的是生成数据对应于 D 的分布。
在 a 图中是刚开始训练的时候，D 的分类能力还不是最好，因此有所波动，而生成数据的分布也自然和真实数据分布不同，毕竟 G 网络输入是随机生成的噪声；到了 b 图的时候，D 网络的分类能力就比较好了，可以看到对于真实数据和生成数据，它是明显可以区分出来，也就是给出的概率是不同的；
而绿色的曲线，即 G 网络的目标是学习真实数据的分布，所以它会往蓝色曲线方向移动，也就是 c 图了，并且因为 G 和 D 是相互对抗的，当 G 网络提升，也会影响 D 网络的分辨能力。论文中，Ian Goodfellow 做出了证明，当假设 G 网络不变，训练 D 网络，最优的情况会是：
也就是当生成数据的分布 $p_g(x)$ 趋近于真实数据分布 $p_{data}(x) $的时候，D 网络输出的概率 $D_G^*(x)$ 会趋近于 0.5，也就是 d 图的结果，这也是最终希望达到的训练结果，这时候 G 和 D 网络也就达到一个平衡状态。
训练策略和算法实现
论文给出的算法实现过程如下所示：
这里包含了一些训练的技巧和方法：
- 首先 G 和 D 是同步训练，但两者训练次数不一样，通常是 D 网络训练 k 次后，G 训练一次。主要原因是 GAN 刚开始训练时候会很不稳定；
- D 的训练是同时输入真实数据和生成数据来计算 loss，而不是采用交叉熵（cross entropy）分开计算。不采用 cross entropy 的原因是这会让 D(G(z)) 变为 0，导致没有梯度提供给 G 更新，而现在 GAN 的做法是会收敛到 0.5；
- 实际训练的时候，作者是采用 $-log(D(G(z)))$ 来代替 $log(1-D(G(z)))$ ，这是希望在训练初始就可以加大梯度信息，这是因为初始阶段 D 的分类能力会远大于 G 生成足够真实数据的能力，但这种修改也将让整个 GAN 不再是一个完美的零和博弈。
分析
优点
GAN 在巧妙设计了目标函数后，它就拥有以下两个优点。
- 首先，GAN 中的 G 作为生成模型，不需要像传统图模型一样，需要一个严格的生成数据的表达式。这就避免了当数据非常复杂的时候，复杂度过度增长导致的不可计算。
- 其次，它也不需要 inference 模型中的一些庞大计算量的求和计算。它唯一的需要的就是，一个噪音输入，一堆无标准的真实数据，两个可以逼近函数的网络。
缺点
虽然 GAN 避免了传统生成模型方法的缺陷，但是在它刚出来两年后，在 2016 年才开始逐渐有非常多和 GAN 相关的论文发表，其原因自然是初代 GAN 的缺点也是非常难解决：
- 首当其冲的缺点就是 GAN 过于自由导致训练难以收敛以及不稳定；
- 其次，原始 G 的损失函数 $log(1-D(G(z)))$ 没有意义，它是让G 最小化 D 识别出自己生成的假样本的概率，但实际上它会导致梯度消失问题，这是由于开始训练的时候，G 生成的图片非常糟糕，D 可以轻而易举的识别出来，这样 D 的训练没有任何损失，也就没有有效的梯度信息回传给 G 去优化它自己，这就是梯度消失了；
- 最后，虽然作者意识到这个问题，在实际应用中改用 $-log(D(G(z)))$ 来代替，这相当于从最小化 D 揪出自己的概率，变成了最大化 D 抓不到自己的概率。虽然直观上感觉是一致的，但其实并不在理论上等价，也更没有了理论保证在这样的替代目标函数训练下，GAN 还会达到平衡。这个结果会导致模式奔溃问题，其实也就是[GAN学习系列] 初识GAN中提到的两个缺陷。
当然，上述的问题在最近两年各种 GAN 变体中逐渐得到解决方法，比如对于训练太自由的，出现了 cGAN，即提供了一些条件信息给 G 网络，比如类别标签等信息；对于 loss 问题，也出现如 WGAN 等设计新的 loss 来解决这个问题。后续会继续介绍不同的 GAN 的变体，它们在不同方面改进原始 GAN 的问题，并且也应用在多个方面。
参考文章：
- Goodfellow et al., “Generative Adversarial Networks”. ICLR 2014.
- beginners-review-of-gan-architectures
- 干货 | 深入浅出 GAN·原理篇文字版（完整）
- 深度 | 生成对抗网络初学入门：一文读懂GAN的基本原理（附资源）
配图来自网络和论文 Generative Adversarial Networks
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